年,我刚开始写教材。我写的第一个系统小学数学"阶梯24级成长体系",一共分为6个年级,每年级4级,并同时分了初阶、中阶、高阶、金阶体系。打破传统奥数用题型分模块的方式,打散题型从思路出发。当时便总结出了有序思考、规律思考、正向思考、逆向思考、整体思考、分组思考、逻辑思考和发散思考八种基本的数学思考方式,也就是数学思维。
1、有序思考
当然,聪明如你可能很快就找到不按照1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的顺序来说,比如1、10、2、9……比如1、3、5、7、9、2、4、6、8、10……这不也是“有序”的嘛?所以寻找秩序就是我们的本能,可以方便和简化我们的生活。
“有序”的思考方式在数学里最突出的一种表现方式就是枚举法。在数学中,尤其是高阶数学,常常遇到一些题目有许多可能性,孩子就懵了。但只要是有限的可能性,那就按照顺序排着找也能找到答案啊。大概也是基于这样的信念,才有了后来的计算机技术。
有序思考
6个同样的苹果放到3个同样的筐里,有多少种放法?
关于这道题,不能想到哪个说哪个吧?你最好按照顺序从小到大去想,才能不重不漏的找到所有答案。这个题目非常好,因为有很大的延展空间。我还可以问你“6个同样的苹果放到3个不同的筐里”,“6个不同的苹果放到3个同样的筐里”,“6个不同的苹果放到3个不同的筐里”。
这几个问题本身就是一种“有序思考”的体现,如果你能潜下心来研究,可能会收获4种不同类型的计数题型。
做做试试?有意思吧???
所以我反对题海战术,你做“6个苹果”的题目,再做“7个苹果”“8个苹果”,练多了就成了熟练活儿,但我把题目改一个字,把“同样”改成“不同”就完全变了逻辑。所以不如花更多时间研究一道题,刚才我问的这四个问题你若是都能弄明白,那这一类题目就算是彻底弄明白了,等到高中学排列组合也通了。
让孩子建立起顺序和分类思想,就像在脑海中搭起一个架子,这样再储存和提取任何信息都会非常有效率。有序思想是数学最核心的思想,也是数学之所以产生的原因,这种思想的建立不仅可以帮助孩子们解决具体数学问题,更重要的是可以培养一种解决复杂问题的良好心态,这对于孩子今后的学习和生活都会非常有帮助。
2、规律思考
规律思考
……1是一个一千位数,求他除以7的余数。
关于这道题,你觉得可能会让你真的算算看嘛?不会,一方面不太可能,另一方面也没有意义。
所以这里面一定有规律!
我经常提醒孩子们,通常你看到省略号,就应该可以开始庆贺了,因为这里一般都有规律,你只要找到规律了,这事儿就容易了。
那怎么找规律呢?这就是另一个问题了。
再来一道题体验一下
规律思考
1,2,()
下一个数字填几?
看到题,很自然地就喊出了3吧?但一定是3嘛?
1,2,4行不行?1,2,4,8,16……是不是有规律?每次都×2呀。
1,2,5行不行?1,2,5,10,17……有规律嘛?相邻两个数差地刚好是1、3、5、7……
1,2,6行不行?1,2,6,24,……行么?依次×2,×3,×4,×5……
所以1,2,后面填谁都行,从1到2可能是+1,也可能是×2,还有可能是其他的计算方式,一个现象如果只出现一次那不叫“规律“。
我希望孩子拥有找规律的本能,并且能够独立思考,不受惯性思维的束缚和影响。
有序思考和规律思考是我认为最重要的两种数学思想,也是数学最有魅力的地方,如果我们学了很多题型拥有了很多数学技巧,却不能把有序和规律深入到我们的血液中,那数学真的算是学偏了,就好像绕着花园转圈圈,大门口照了张到此一游的照片,没有能真正看到花园的美。
3、正向思考
正向思考
阶阶有一堆苹果,第一次吃掉了一半,第二次吃掉了剩下的一半,第三次吃掉了4个,还剩6个。问阶阶一开始有几个?
这个题目是典型的倒推法,很多孩子就倒着往回推,就很容易错。这就像减法比加法难,除法比乘法难一样。所以我们提倡先正着把整个过程画出来,主要有以下三种方式:
1.大饼法
2.面条法
3.流程图
不管使用哪种方法,都是先正着理清过程,铺好路,然后再倒着走回来。
正向思考是解决复杂问题的一种基础工具,同时也是一种很好的思考习惯,踏踏实实步步为营。
4、逆向思考
既然结果只有一个,那我们就试着从后面往前推,先去想最后一个空,前面会得到一个结果,这个结果与5运算得6,那最容易想到的就是1+5=6,所以就是要凑一个1。四个数去凑一个结果就容易一些了吧?以此类推,倒着找回来。
另一种是范围上的。
5、整体思考
很多孩子在学习和生活中都容易钻牛角尖,没有从更高的角度来观察事情,这样就容易偏离自己原来的目标和方向。我经常说,我希望我的孩子们能“心中有天下”“胸中有丘壑”,这也是一种更豁达更健康的人生态度。
6、分组思考
这明显就是与整体思考对应的,一个是强调建立大局观,一个是强调建立组别概念,研究细节,一个着眼大,一个着眼小。
分组思考
往圆圈里分别填入1、2、3、4、5、6、7,使得每条线上三个数的和是一样的。
7、逻辑思考
我举这两个也许不是很恰当的例子是为了让你感受排除和假设的区别,一个是解决“确定的问题“,一个是解决”不确定的问题“。大致逻辑方法都可以归到这两种基本思路下。比如常用的表格法、数轴法都是排除思想的一种体现;比如数独有那么多方法,但归其根本也是排除和假设,或者二者结合。
逻辑不只是在数学中能够体现,说话办事都是逻辑能力的一种反映。我经常提倡孩子们多用逻辑连词,”不但而且“”虽然但是““因为所以”之类的,可以迫使我们寻找逻辑的根源,慢慢变得越来越爱思考,拥有更多看待问题的角度。
8、发散思考
这就是阶梯数学所倡导的八大数学思维,刚好四组,两两对应。数学是一种思考的工具,可以有效训练我们的思维,学会主动、独立的思考问题。
总是有人问:学阶梯数学能提高数学成绩嘛?
嗯,如果把提高成绩当作目标,那你最多只能提高成绩;但如果你把提高思维能力当作目标,那提高成绩只是一件水到渠成的必经之路而已。
所以,还是那句话,知识和技巧是学不完的,希望培养一代能够独立思考的年轻人。
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